よく刑事ドラマに登場する「科学捜査研究所」と「科学警察研究所」。どのように違うのでしょうか？

都道府県警察本部に設置される機関です。
主に研究所ですので、科学捜査についての研究や実験をしています。
そして、研究や実験を応用した鑑定・検査等を行っています。
例えば、DNA鑑定、銃器、音声、文書の鑑定、麻薬・覚せい剤等の成分分析を行っています。
他の仕事として、都道府県警察の鑑定員に対する研修や指導。
裁判所や検察庁から依頼させれた検査や鑑定をしています。
当たり前ですが、事件の捜査はしていません。

警察庁（国）に設置される機関です。
都警察庁の機関ですので、警察本部の刑事部鑑識課、警察署の刑事課鑑識係と協力して科学捜査をしたします。
そして、科学警察研究所は技術開発や政策立案を主にしています。